常见题型：choice、fill、short
例题 1
已知圆 C: (x-1)^2 + (y-2)^2 = 25，直线 l: (2m+1)x + (m+1)y - 7m - 4 = 0（m ∈ R）。
（1）求证：无论 m 取何值，直线 l 恒过定点；
（2）求直线 l 被圆 C 截得的弦长最短时 m 的值及最短弦长。
解答
（1）将直线方程整理为 (2x + y - 7)m + (x + y - 4) = 0。令 2x + y - 7 = 0 且 x + y - 4 = 0，解得 x = 3, y = 1。故直线恒过定点 P(3, 1)。
（2）圆 C 圆心为 (1, 2)，半径 r = 5。点 P 到圆心距离 |CP| = √[(3-1)^2 + (1-2)^2] = √5。
当直线 l 垂直于 CP 时，弦长最短。此时直线 l 的方向向量与 CP 垂直，CP 斜率为 (1-2)/(3-1) = -$\frac{1}{2}$，故直线 l 斜率为 2。
由直线 l 方程得斜率 k = -(2m+1)/(m+1) = 2（m ≠ -1），解得 m = -$\frac{3}{4}$。
此时圆心到直线距离 d = |CP| = √5，最短弦长 = 2√(r^2 - d^2) = 2√(25 - 5) = 2√20 = 4√5。
要点：