椭圆

常见题型：椭圆标准方程与性质、椭圆的定义法求轨迹、直线与椭圆的位置关系、弦长/面积计算、定点定值与最值问题

定义

椭圆是平面内到两定点F₁、F₂的距离之和等于常数2a（>|F₁F₂|=2c）的点的轨迹。标准方程：焦点在x轴上：x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)；焦点在y轴上：y²/a²+x²/b²=1(a>b>0)。离心率e=c/a∈(0,1)，e越小椭圆越圆。a²=b²+c²。

详解

椭圆是上海高考解析几何的绝对核心，近三年每年都有椭圆相关的解答题。上海高考对椭圆的考查注重几何性质与代数方法的综合运用。

一、椭圆的上海特色考法：

1. 定义法求轨迹：利用|PF₁|+|PF₂|=2a建立方程求轨迹——这是解析几何中最核心的思想方法。
2. 椭圆性质的灵活运用：离心率e的范围、(a,b,c)的关系、焦半径公式PF₁=a+ex₀。
3. 直线与椭圆的位置关系：联立方程→判别式判断→韦达定理求弦长。这是解答题的标准流程。
4. 椭圆中的最值与范围：结合均值不等式或二次函数求离心率、弦长、面积等的最值。

二、直线与椭圆综合题的标准流程：

1. 设直线方程（点斜式y=kx+m），代入椭圆方程。
2. 整理为关于x（或y）的二次方程。
3. 利用韦达定理得x₁+x₂，x₁x₂。
4. 根据题意（弦长、中点、垂直等）列方程求解参数。

三、近年真题特征：

• 2023年真题：椭圆与直线相交，求弦长或证明某定点定值问题。
• 2024年一模：椭圆离心率取值范围问题，结合不等式求最值。

四、解题策略：

1. 设而不求——利用韦达定理整体处理x₁+x₂和x₁x₂，不显式求出交点坐标。
2. 弦长公式|AB|=√(1+k²)·√[(x₁+x₂)²-4x₁x₂]，用韦达定理代入。
3. 中点弦问题用点差法（设弦两端点为(x₁,y₁),(x₂,y₂)，代入椭圆方程后相减）。

要点

• 椭圆定义两定点，距离之和为常数
• a最大来c焦点，abc²=aa减bb
• 离心率e=c/a，越近1来越扁
• 设而不求韦达法，弦长面积全靠它

推导过程

椭圆标准方程推导：
设|PF₁|+|PF₂|=2a，F₁(-c,0),F₂(c,0)，P(x,y)。
√[(x+c)²+y²]+√[(x-c)²+y²]=2a。
移项平方两次，消去根号得(a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²)。
令b²=a²-c²，得x²/a²+y²/b²=1。

椭圆的第二定义：平面上到定点（焦点）与定直线（准线）的距离之比为常数e(0<e<1)的点的轨迹。准线方程为x=±a/e=±a²/c。

考情权重

约10分(6.7%)，常以解答题形式出现

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