常见题型：choice、fill、short
公式：
$\vec{a}$ \cdot $\vec{b}$ = |$\vec{a}$||$\vec{b}$|\cos\theta
适用条件：
θ为向量a与b的夹角，取值范围[0,π]
解释：
向量数量积的定义式，用于将向量夹角θ与三角函数值直接关联
公式：
$\vec{a}$ \cdot $\vec{b}$ = x_1x_2 + y_1y_2
适用条件：
向量a=(x1,y1)，b=(x2,y2)在平面直角坐标系中
解释：
向量坐标形式下的数量积计算，便于与三角函数坐标表示结合
公式：
\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1
适用条件：
α为任意实数
解释：
同角三角函数基本关系式，常用于化简向量模长中的三角函数表达式
公式：
\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta
适用条件：
α,β为任意实数
解释：
两角和差正弦公式，用于处理向量旋转或相位变换问题
原因分析：
混淆了向量垂直（点积为0）与向量夹角为0（点积等于模长乘积）的条件
正确做法：
牢记：$\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0$
错误做法：
将向量垂直条件误写为数量积等于1
原因分析：
对辅助角公式的推导过程不熟练，仅机械记忆，未理解 $\tan\varphi=\frac{b}{a}$ 的象限依赖关系
正确做法：
先确定点$(a,b)$所在象限，再根据 $\sin\varphi=\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$，$\cos\varphi=\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$ 确定 $\varphi$
错误做法：
在利用辅助角公式时，将 $a\sin x+b\cos x$ 化为 $\sqrt{a^2+b^2}\sin(x+\varphi)$，但错误计算 $\varphi$ 的正切值或忽略 $a,b$ 符号导致相位出错
原因分析：
忽略了 $\sqrt{\sin^2 x}=|\sin x|$，在指定区间内未根据正负处理绝对值
正确做法：
先平方再开方时，务必加上绝对值符号，并根据变量范围去掉绝对值
错误做法：
在向量模长问题中，直接对三角函数表达式开方，忽略绝对值
例题 1
已知向量 $\vec{a}=(\sin x, 1)$，$\vec{b}=(\cos x, -\frac{1}{2})$，$x\in[0,\pi]$。若 $\vec{a}\perp\vec{b}$，求 $\tan x$ 的值。
解答
由 $\vec{a}\perp\vec{b}$ 得 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$，即 $\sin x\cos x - \frac{1}{2}=0$，整理得 $2\sin x\cos x=1$，即 $\sin 2x=1$。因为 $x\in[0,\pi]$，所以 $2x\in[0,2\pi]$，由 $\sin 2x=1$ 得 $2x=\frac{\pi}{2}$，解得 $x=\frac{\pi}{4}$。故 $\tan x = 1$。
要点：
例题 2
设向量 $\vec{m}=(\sqrt{3}\sin x, \cos x)$，$\vec{n}=(\cos x, \cos x)$，函数 $f(x)=\vec{m}\cdot\vec{n}+\frac{1}{2}$。求 $f(x)$ 的最小正周期和单调递增区间。
解答
计算 $\vec{m}\cdot\vec{n} = \sqrt{3}\sin x\cos x + \cos^2 x = \frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x + \frac{1+\cos 2x}{2}$。于是 $f(x)=\frac{\sqrt{3}}{2}\sin 2x + \frac{1}{2}\cos 2x + 1$。提出 $\sqrt{(\frac{\sqrt{3}}{2})^2+(\frac{1}{2})^2}=1$，得 $f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{6})+1$。最小正周期 $T=\frac{2\pi}{2}=\pi$。由 $-\frac{\pi}{2}+2k\pi \le 2x+\frac{\pi}{6} \le \frac{\pi}{2}+2k\pi$，解得单调递增区间为 $[-\frac{\pi}{3}+k\pi, \frac{\pi}{6}+k\pi]$，$k\in\mathbb{Z}$。
要点：