不等式

步骤：

明确不等式类型，选择对应解法

detail：

首先判断所给不等式属于哪一类：一元一次不等式、一元二次不等式、分式不等式、绝对值不等式、指数/对数不等式，还是含参不等式。不同类型有各自的标准解法流程，例如一元二次不等式需先化为标准形式 ax²+bx+c>0（或<0），再结合判别式与二次函数图像求解；分式不等式需通分并转化为整式不等式组，注意分母不为零；绝对值不等式需根据绝对值定义分段讨论或利用平方转化。

步骤：

利用不等式性质进行等价变形

detail：

在求解过程中，严格依据不等式的基本性质进行变形：移项时符号不变，两边同乘或同除正数时不等号方向不变，同乘或同除负数时不等号方向必须反转。对于含参数的不等式，需对参数分类讨论，分别考虑参数取不同范围时不等号方向的变化。同时注意定义域限制（如分母不为零、根号内非负、对数真数大于0等），确保每一步变形都是等价变换。
【示例】解不等式 -2x + 6 > 0：两边同时除以 -2（负数），不等号方向反转，得 x < 3。若误写为 x > 3，则解集错误。

步骤：

结合图像或数轴确定解集

detail：

对于一元二次不等式，画出对应二次函数 y=ax²+bx+c 的草图，根据开口方向（a>0 开口向上，a<0 开口向下）和与 x 轴的交点（由判别式决定），直接写出解集：大于零取两根之外，小于零取两根之间。对于分式不等式或绝对值不等式，可在数轴上标出关键点（零点、间断点），通过穿针引线法或区间测试法确定各区间内不等式的符号，最终合并得到解集。

步骤：

验证边界点与特殊情形

detail：

解集确定后，检查边界点是否满足原不等式（尤其注意不等号是否包含等号），以及是否满足定义域要求。对于含参数的不等式，还需验证参数取边界值时不等式是否成立，避免遗漏或重复。对于基本不等式求最值问题，要验证等号成立条件（如 a=b 时取等），确保最值可以取到。最后将解集用区间或集合形式规范表达。

适用：各类不等式的求解与证明、含参讨论、最值问题；不适用：线性规划中的图解法、柯西不等式等竞赛技巧。

原因分析：

分母可能为负，直接乘以分母会改变不等号方向，导致解集错误。

正确做法：

将分式不等式化为整式不等式组（如 (x-1)(x+2) ≤ 0 且 x+2 ≠ 0），避免符号讨论。

错误做法：

解分式不等式时直接去分母，忽略分母符号变化。

原因分析：

二次项系数为负时，不等式方向与开口方向相反，容易误判解集。

正确做法：

先将二次项系数化为正数（乘以-1并反转不等号），再求解。

错误做法：

解一元二次不等式时忘记考虑二次项系数的正负。

原因分析：

例如 |x-1| < 2 直接展开为 -2 < x-1 < 2，但若表达式含分式，需先考虑分母非零。

正确做法：

先确定变量允许范围（如分母不为0），再应用绝对值不等式转化。

错误做法：

解绝对值不等式时，忽略绝对值内表达式的定义域。

原因分析：

基本不等式取等条件 a=b 可能不满足已知约束，导致最值错误。

正确做法：

使用基本不等式后必须验证取等条件是否在定义域内，若不满足则需改用函数单调性求解。

错误做法：

应用基本不等式求最值时，忘记验证"三相等"条件。