导数与切线问题

函数与导数A 档L3近3年考频 5 次

常见题型：choice、fill、short

导数与切线问题 - 函数与导数

考法聚焦

直接考查基本初等函数的求导公式，中函数f(x)=x³的导数f'(x)=3x²，要求学生识记幂函数求导法则。这类题常以选择题或填空题形式出现，题干简洁，属于识记层，易错点在于系数或指数处理错误，区分度较低。
结合具体点求导数值，和函数f(x)=x²在x=1处的导数，需先求导再代入。这属于应用层，验证学生对导数定义和求导法则的掌握，易错点在于混淆导数值与函数值，或忘记代入步骤。
与三角函数联立考查导数运算，例如求含sinx或cosx的复合函数在某点的切线斜率。此类题属于应用层，要求学生熟练运用三角函数求导公式及链式法则，易错点在于符号或系数错误，常以填空题出现。
与向量或坐标结合，例如已知曲线在某点的切线方向向量，求参数值。这属于推理层，需将导数与向量平行或垂直条件转化，验证学生对导数几何意义的理解及向量运算能力，易错点在于方向向量与斜率的关系混淆。
与函数性质结合，如利用导数求切线方程后，进一步讨论函数的单调性或极值。这属于综合层，常出现在简答题中，要求学生综合运用求导、解方程、不等式等知识，易错点在于忽略定义域或讨论不全面。

例题 1

已知函数f(x)=x^3 - 3x^2 + 2x + 1，过点P(1, -1)作曲线y=f(x)的切线，求该切线方程。

解答

设切点为(x_0, y_0)，则y_0 = x_0^3 - 3x_0^2 + 2x_0 + 1。
求导得f'(x)=3x^2 - 6x + 2，斜率k = f'(x_0) = 3x_0^2 - 6x_0 + 2。
切线方程：y - y_0 = k(x - x_0)。
将点P(1, -1)代入切线方程：-1 - (x_0^3 - 3x_0^2 + 2x_0 + 1) = (3x_0^2 - 6x_0 + 2)(1 - x_0)。
化简得：-x_0^3 + 3x_0^2 - 2x_0 - 2 = (3x_0^2 - 6x_0 + 2)(1 - x_0)。
展开右边并移项：-x_0^3 + 3x_0^2 - 2x_0 - 2 = -3x_0^3 + 9x_0^2 - 8x_0 + 2。
整理得：2x_0^3 - 6x_0^2 + 6x_0 - 4 = 0，除以2：x_0^3 - 3x_0^2 + 3x_0 - 2 = 0。
因式分解：(x_0 - 2)(x_0^2 - x_0 + 1) = 0，得x_0 = 2（x_0^2 - x_0 + 1 = 0无实根）。
切点为(2, 1)，斜率k = 3*4 - 12 + 2 = 2。
切线方程：y - 1 = 2(x - 2)，即y = 2x - 3。

要点：

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