解答
- 求导：f'(x) = 3x^2 - 6ax + 3 = 3(x^2 - 2ax + 1)。
- 判别式：Δ = ( -2a)^2 - 4 = 4a^2 - 4 = 4(a^2 - 1)。
- 分类讨论：
- 当 a^2 ≤ 1，即 -1 ≤ a ≤ 1 时，Δ ≤ 0，f'(x) ≥ 0 恒成立，f(x) 在 R 上单调递增。
- 当 a^2 > 1，即 a < -1 或 a > 1 时，Δ > 0，令 f'(x) = 0 得 x = a ± √(a^2 - 1)。
则 f(x) 在 (-∞, a - √(a^2 - 1)) 和 (a + √(a^2 - 1), +∞) 上单调递增，
在 (a - √(a^2 - 1), a + √(a^2 - 1)) 上单调递减。
- 综上，讨论结果如上。
要点：
- 正确求导并化简
- 利用判别式判断二次导数的符号变化
- 对参数 a 进行完整分类，不遗漏边界情况