数列

步骤：

第一步：识别数列类型，确定通项与求和策略

detail：

根据题目条件判断数列是否为等差、等比数列，或可转化为等差/等比数列（如通过构造、取倒数、取对数等）。若为等差或等比，直接使用通项公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 或 $a_n = a_1 q^{n-1}$ 及求和公式 $S_n = \frac{n(a_1+a_n)}{2}$ 或 $S_n = \frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$（$q \neq 1$）。若为其他类型，则需进一步分析递推关系或通项特征，为后续求和或证明做准备。

步骤：

第二步：根据递推关系，选择构造或迭代方法求通项

detail：

对于给定递推公式（如 $a_{n+1} = pa_n + q$、$a_{n+1} = a_n + f(n)$、$a_{n+1} = \frac{a_n}{k a_n + b}$ 等），采用对应方法：形如 $a_{n+1} = pa_n + q$ 可构造等比数列（设 $a_{n+1}+\lambda = p(a_n+\lambda)$）；形如 $a_{n+1} = a_n + f(n)$ 可用累加法；形如 $a_{n+1} = f(n)a_n$ 可用累乘法；分式递推常用取倒数后构造等差或等比。最终得到 $a_n$ 关于 $n$ 的显式表达式。
【示例】已知数列满足 $a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+3$，求通项公式。解：设 $a_{n+1}+\lambda=2(a_n+\lambda)$，展开得 $a_{n+1}=2a_n+\lambda$，对比原式得 $\lambda=3$，故 $a_{n+1}+3=2(a_n+3)$，所以 $\{a_n+3\}$ 是首项为 $4$、公比为 $2$ 的等比数列，$a_n+3=4\cdot2^{n-1}=2^{n+1}$，因此 $a_n=2^{n+1}-3$。

步骤：

第三步：针对数列求和，选择并执行恰当的求和方法

detail：

根据通项结构选择求和法：若通项为等差×等比形式（如 $n \cdot 2^n$），用错位相减法；若通项可拆分为两项差（如 $\frac{1}{n(n+1)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1}$），用裂项相消法；若通项由多个简单数列组合而成（如 $a_n = 2^n + n$），用分组求和法；若通项为等差或等比，直接用公式法。注意裂项时需验证前后项抵消后的剩余项，错位相减时需对齐指数并化简。

步骤：

第四步：综合应用，结合不等式、函数或数学归纳法进行证明与求解

detail：

当数列问题与不等式（如证明 $S_n < M$）、函数单调性、最值或数学归纳法结合时，先明确目标。常用方法：证明数列单调性可通过作差 $a_{n+1} - a_n$ 或作商 $\frac{a_{n+1}}{a_n}$ 与1比较；证明不等式常利用放缩法（如将通项放缩为可求和的形式）或数学归纳法（先验证 $n=1$，再假设 $n=k$ 成立，推导 $n=k+1$ 成立）。注意放缩的尺度与归纳假设的合理使用。

适用：已知数列类型明确或可通过简单变形转化为等差/等比数列的题目；递推关系为线性、累加累乘型或分式型；求和结构为等差、等比、等差×等比、分式裂项或分组求和；与不等式、单调性、最值或数学归纳法结合的综合题。
不适用：递推关系为高阶非线性或无法通过初等变形求解的数列；求和结构复杂无法用常规方法（如涉及取整函数、数论函数）的题目；纯抽象数列无具体通项或递推的证明题。

原因分析：

对裂项后正负项的具体对应关系不清晰，未实际写出前几项观察抵消模式。

正确做法：

写出前几项如1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)，明确中间项抵消后剩下首项1和末项-1/(n+1)，结果为1-1/(n+1)。

错误做法：

在裂项相消时，将1/(n(n+1))直接裂为1/n-1/(n+1)后，求和时误以为所有项都抵消，忽略首尾剩余项。

原因分析：

错位相减后得到的等比数列首项和末项容易混淆，未仔细核对指数变化。

正确做法：

以S_n=1·2+2·2²+...+n·2^n为例，乘以公比2得2S_n=1·2²+2·2³+...+(n-1)·2^n+n·2^{n+1}，相减后等比数列为2²+2³+...+2^n，共n-1项，首项2²，公比2。

错误做法：

使用错位相减法时，相减后等比数列的项数误判为n项，实际应为n-1项或n项。

原因分析：

公式a_n=S_n-S_{n-1}仅对n≥2成立，n=1时S_0无定义，需单独计算a_1=S_1。

正确做法：

先计算a_1=S_1，再对n≥2用a_n=S_n-S_{n-1}，最后检查a_1是否满足通项，若不满足则写成分段形式。

错误做法：

已知S_n求a_n时，直接使用a_n=S_n-S_{n-1}，未验证n=1时a_1是否等于S_1。