常见题型：choice、fill、short
例题 1
已知向量 $\vec{a}$=(2,1)，$\vec{b}$=(3,-4)，求 $\vec{a}$ \cdot $\vec{b}$ 及 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影。
解答
步骤1：计算数量积 $\vec{a}$ \cdot $\vec{b}$ = 2×3 + 1×(-4) = 6 - 4 = 2。
步骤2：求 $\vec{b}$ 的模长 |$\vec{b}$| = $\sqrt{3^2+(-4)^2}$ = 5。
步骤3：投影 = \frac{$\vec{a}$ \cdot $\vec{b}$}{|$\vec{b}$|} = $\frac{2}{5}$。
要点：
例题 2
已知 |$\vec{a}$|=3，|$\vec{b}$|=4，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 60°，求 (2$\vec{a}$-$\vec{b}$) \cdot ($\vec{a}$+3$\vec{b}$)。
解答
步骤1：展开式子 = 2$\vec{a}$ \cdot $\vec{a}$ + 6$\vec{a}$ \cdot $\vec{b}$ - $\vec{b}$ \cdot $\vec{a}$ - 3$\vec{b}$ \cdot $\vec{b}$。
步骤2：利用交换律 $\vec{a}$ \cdot $\vec{b}$ = $\vec{b}$ \cdot $\vec{a}$，合并得 = 2|$\vec{a}$|^2 + 5$\vec{a}$ \cdot $\vec{b}$ - 3|$\vec{b}$|^2。
步骤3：代入已知 |$\vec{a}$|^2=9，|$\vec{b}$|^2=16，$\vec{a}$ \cdot $\vec{b}$=3×4×cos60°=6。
步骤4：计算得 2×9 + 5×6 - 3×16 = 18+30-48=0。
要点：