正弦定理

解答

由正弦定理：a/sinA = b/sinB，得3/sin30° = 4/sinB，即$\frac{3}{0}$.5 = 4/sinB，所以6 = 4/sinB，sinB = $\frac{4}{6}$ = $\frac{2}{3}$ ≈ 0.6667。由于sinB=$\frac{2}{3}$，且a<b，所以∠A<∠B，∠B可能为锐角或钝角。但a=3，b=4，∠A=30°，由三角形内角和定理，∠B+∠C=150°，若∠B为钝角，则∠C<30°，但由正弦定理，大边对大角，b>a，则∠B>∠A，但∠B>90°时，∠C<60°，矛盾？需检验：若∠B=180°-arcsin($\frac{2}{3}$)≈138.2°，则∠C=180°-30°-138.2°=11.8°，此时c/sinC= a/sinA，c= (sinC/sinA)*a = (sin11.8°/0.5)*3 ≈ (0.$\frac{2045}{0}$.5)*3=1.227，c<b且c<a，满足三角形条件。但注意：原题中未说明三角形类型，通常正弦定理求角时，若已知两边及其中一边的对角，需考虑两解情况。这里由于a<b，且∠A=30°为锐角，所以∠B可能有两解：锐角∠B=arcsin($\frac{2}{3}$)≈41.8°或钝角∠B=180°-41.8°=138.2°。但需进一步判断：若∠B=41.8°，则∠C=108.2°，c边可通过正弦定理计算，符合条件。因此答案为41.8°或138.2°。

要点：

• 正确应用正弦定理列出比例式。
• 注意已知两边及一边对角时，正弦值对应角可能有两解（锐角和钝角），需结合三角形内角和及边角关系判断。

解答

先利用余弦定理求一角的正弦值，再用正弦定理求R。由余弦定理：cosA = (b²+c²-a²)/(2bc) = (49+64-25)/(2*7*8) = (88)/(112) = $\frac{11}{14}$，则sinA = √(1-cos²A) = √(1-$\frac{121}{196}$) = √($\frac{75}{196}$) = (5√3)/14。由正弦定理：a/sinA = 2R，所以2R = 5 / ((5√3)/14) = 5 * (14/(5√3)) = 14/√3 = (14√3)/3，因此R = (7√3)/3。

要点：

• 灵活结合余弦定理和正弦定理。
• 注意求正弦值时，角A为三角形内角，正弦值取正。