等比数列的前n项和

函数与导数A 档L3近3年考频 5 次

常见题型：choice、fill、short

等比数列的前n项和 - 数列

考法聚焦

利用等比数列前n项和公式S_n = a1(1-q^n)/(1-q)时，学生常忽略q≠1的前提。直接给出S3和S6的值求q，若直接代入公式会得到两个解，但需检验q=1是否成立。这考查了辨析层级，要求学生在应用公式前先判断公比是否为1，避免遗漏或错误。
通过前n项和的关系求通项公式是常见组合。要求由S3和S6求出q和a1，再写出an。这属于应用层级，学生需先利用S6与S3的比值消去a1，得到q的方程，再回代求a1，最后写出通项。易错点在于解方程时可能忽略q^3的符号。
将前n项和与存在性问题结合，考查推理层级。在求出通项后，要求判断是否存在正整数k使得Sk、S2k、S3k成等比数列。这需要学生理解等比数列的定义，并利用前n项和公式建立方程，通过分析解的存在性得出结论。区分度较高，学生容易盲目计算而忽略对k范围的讨论。
在选择题中，通过前n项和的值求公比，常设置干扰项。中，若学生误用S6=2S3，会得到q=2的错误答案；或直接解方程时忽略q=1的情况。这考查了辨析层级，要求学生对公式的适用条件有清晰认识，并能通过验证排除增根。
等比数列前n项和与通项公式的互求是基础应用。和本质相同，但设问方式不同：选择题侧重快速求解，填空题要求完整表达。学生需掌握由Sn求an的方法，即an=Sn-S_{n-1}（n≥2），并注意验证n=1时是否成立。易错点在于忽略n的范围导致通项不完整。

典型例题

例题 1

已知等比数列{an}的首项a1=2，公比q=3，求该数列前4项的和S4。

解答

解：因为q=3≠1，代入公式S_n = a1(1 - q^n)/(1 - q)，得S4 = 2×(1 - 3^4)/(1 - 3) = 2×(1 - 81)/(-2) = 2×(-80)/(-2) = 80。

要点：

识别公比q≠1，直接使用公式
正确计算q的n次幂，注意负号处理

例题 2

已知等比数列{an}中，a1=5，S3=15，求公比q的值。

解答

解：当q=1时，S3=3×5=15，符合题意，故q=1；当q≠1时，由S3=5(1-q^3)/(1-q)=15，化简得(1-q^3)/(1-q)=3，即1+q+q^2=3，解得q=1或q=-2，结合q≠1得q=-2。综上，q=1或q=-2。

要点：

分类讨论q=1和q≠1两种情况
利用因式分解1-q^3=(1-q)(1+q+q^2)简化计算

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