基本不等式

函数与导数A 档L3近3年考频 5 次

常见题型：choice、fill、short

基本不等式 - 不等式

考法聚焦

基本不等式常与数列组合考查，中要求判断数列通项能否构成三角形，实质是利用基本不等式求最值以确定参数范围。学生需在应用层理解三角形三边关系，并建模为不等式恒成立问题，再通过基本不等式求解，易错点在于忽略正整数条件或不等式取等条件。卷面以填空题为主。
在选择题中，基本不等式常以概念辨析形式出现，判断a>b>0时哪个不等式恒成立。学生需在识记层掌握基本不等式及其变形，并能推理验证选项。命题意图是检验对不等式成立条件的理解，易错点在于误用基本不等式而忽略等号成立条件。
基本不等式与函数图像结合，中正方形内函数交点距离最小问题。学生需在建模层将几何问题转化为代数最值，利用基本不等式求解。设问方式是通过图像信息提取坐标，再建立函数关系。易错点在于未能正确表示变量或忽略定义域。
基本不等式与三角函数联立时，常要求求最值或范围。例如，已知非零实数，判断命题成立与否（），学生需在推理层运用基本不等式进行逻辑推导。命题意图是考查对不等式性质的掌握，易错点在于忽视字母的正负或等号条件。
基本不等式在简答题中常与导数、函数性质结合，要求证明不等式或求最值。学生需在综合层灵活运用配凑、换元等方法，并结合函数单调性。设问方式多为证明或求值，易错点在于未能合理构造或忽略取等条件。

典型例题

例题 1

已知 x > 0，y > 0，且 2x + 3y = 6，求 xy 的最大值。

解答

由基本不等式：6 = 2x + 3y ≥ 2√(2x·3y) = 2√(6xy)，即 6 ≥ 2√(6xy)，化简得 √(6xy) ≤ 3，平方得 6xy ≤ 9，故 xy ≤ $\frac{3}{2}$。当且仅当 2x = 3y 且 2x+3y=6，即 x=$\frac{3}{2}$, y=1 时取等。所以 xy 的最大值为 $\frac{3}{2}$。

要点：

将条件等式化为和的形式，利用基本不等式转化为积的不等式
注意等号成立的条件与已知条件联立求解

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