导数的计算（基本公式与法则）

函数与导数A 档L3近3年考频 5 次

常见题型：choice、fill、short

导数的计算（基本公式与法则） - 函数与导数

考法聚焦

填空题常直接给出具体函数，中f(x)=x³，要求计算导数值或反推参数，本质上是在验证学生对基本求导公式的识记与代入运算能力，易错点在于混淆幂函数求导公式或漏掉系数。
选择题中常将导数计算与函数零点或不等式恒成立组合，例要求判断导数与零点综合计算中的正误，这需要学生不仅会求导，还要能辨析导数符号与函数单调性、零点个数之间的逻辑关系，属于推理层。
部分填空题将导数计算与向量坐标结合，例如已知函数在某点的导数值，结合向量模长或数量积求参数，此时学生需先准确求导再处理向量运算，考查应用层中对公式法则的灵活迁移。
简答题中导数计算常作为第一步，后续与三角函数联立求极值或证明不等式，例如先对含三角函数的复合函数求导，再分析单调性，这种设问方式要求学生掌握复合函数求导法则，并能结合三角恒等变形化简，属于综合层。
建模类题目中，导数计算用于实际问题的最优化，例如给出成本或利润函数，学生需先正确求导再解方程得驻点，此时易错点在于忽略定义域或混淆导数为零与极值的关系，考查建模层中将实际问题转化为导数运算的能力。

典型例题

例题 1

求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x + 1在x=1处的导数。

解答

f'(x) = 3x^2 + 4x - 5（利用幂函数求导法则和加法法则）
将x=1代入：f'(1) = 3×1^2 + 4×1 - 5 = 3 + 4 - 5 = 2

要点：

逐项求导时注意系数不变
代入求值要准确

例题 2

求函数f(x) = (x^2 + 1) * sin x的导数。

解答

应用乘法法则：f'(x) = (x^2+1)' * sin x + (x^2+1) * (sin x)'
= (2x) * sin x + (x^2+1) * cos x
= 2x sin x + (x^2+1) cos x

要点：

识别函数结构为乘积形式
正确应用乘法法则
熟记基本导数公式

例题 3

求函数f(x) = (ln x) / (x^2)在x=e处的导数值。

解答

应用除法法则：f'(x) = [(ln x)' * x^2 - ln x * (x^2)'] / (x^2)^2
= [(1/x) * x^2 - ln x * 2x] / x^4
= [x - 2x ln x] / x^4 = (1 - 2 ln x) / x^3
将x=e代入：f'(e) = (1 - 2 ln e) / e^3 = (1 - 2) / e^3 = -1/e^3

要点：

正确应用除法法则，注意分母平方
化简时提取公因式
代入ln e = 1

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