常见题型：choice、fill、short
公式：
a_n = a_1 + (n-1)d
适用条件：
适用于等差数列，d为公差
解释：
等差数列通项公式，用于表示数列中任意一项的值
公式：
S_n = $\frac{n(a_1 + a_n)}{2}$
适用条件：
等差数列求和
解释：
等差数列前n项和公式，用于求和并建立不等式关系
公式：
a_n = a_1 \cdot q^{n-1}
适用条件：
适用于等比数列，q为公比且q≠0
解释：
等比数列通项公式，常用于指数型不等式的放缩
公式：
\sum_{k=1}^n $\frac{1}{k(k+1)}$ = 1 - $\frac{1}{n+1}$
适用条件：
分母为连续整数乘积的数列求和
解释：
裂项相消求和公式，常用于数列不等式的证明与放缩
原因分析：
学生缺乏对数列单调性的判断，盲目放缩，忽略了放缩的方向必须与不等式符号一致
正确做法：
先判断数列的单调性，若递增则an≥a1，若递减则an≤a1，再根据不等式方向选择合适的放缩方式
错误做法：
在数列不等式放缩中，误认为所有项都放缩到最大值或最小值，导致不等式方向错误
原因分析：
对裂项公式1/(n(n+k)) = (1/k)(1/n - 1/(n+k))记忆不牢，直接套用k=1时的形式
正确做法：
牢记裂项公式的一般形式，先写出待定系数的等式，通过通分比较分子确定系数
错误做法：
使用裂项相消时，裂项系数计算错误，例如1/(n(n+1))误写成1/n - 1/(n+1)而忽略了系数
原因分析：
混淆了离散型变量n与连续型变量x，误用导数求最值，忽略了n只能取正整数
正确做法：
先明确n∈N*，然后通过相邻项比较或对勾函数性质判断数列的单调性，找到最小值点
错误做法：
在恒成立问题中，分离参数后求最值时忽略n的取值范围，直接对连续函数求导
例题 1
已知数列{an}满足a1=1，an+1 = 2an + 1（n∈N*）。设bn = an + 1，证明：对任意n∈N*，有1/(b1) + 1/(b2) + ... + 1/(bn) < 2。
解答
第一步：由an+1 + 1 = 2(an + 1)得bn+1 = 2bn，且b1 = a1 + 1 = 2，故bn = 2^n。
第二步：求和式$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{4}$ + ... + $\frac{1}{2}$^n = ($\frac{1}{2}$) * (1 - ($\frac{1}{2}$)^n) / (1 - $\frac{1}{2}$) = 1 - ($\frac{1}{2}$)^n。
第三步：因为1 - ($\frac{1}{2}$)^n < 1 < 2，所以原不等式成立。
要点：
例题 2
设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn = n^2 + n。若不等式Sn + 2n + 1 ≥ kan对一切n∈N*恒成立，求实数k的最大值。
解答
第一步：由Sn求an：当n=1时，a1=S1=2；当n≥2时，an = Sn - S(n-1) = 2n。检验n=1符合，故an=2n。
第二步：将Sn=n^2+n，an=2n代入不等式得n^2+n+2n+1 ≥ 2kn，即n^2+3n+1 ≥ 2kn。
第三步：分离参数k ≤ (n^2+3n+1)/(2n) = n/2 + $\frac{3}{2}$ + 1/(2n)。
第四步：令f(n)=n/2 + 1/(2n) + $\frac{3}{2}$，由对勾函数性质，当n=1时f(1)=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{2}$=2.5；当n=2时f(2)=1+0.25+1.5=2.75；n≥2时f(n)递增，故f(n)最小值为2.5。
第五步：所以k ≤ 2.5，k的最大值为2.5。
要点：