余弦定理

三角函数A 档L3近3年考频 5 次

常见题型：choice、fill、short

余弦定理 - 三角函数与解三角形

考法聚焦

在解三角形问题中，余弦定理常与正弦定理联用，要求学生在给定边角条件下选择合适定理进行边角互化。例给出两边及一角，需先用余弦定理求第三边，再结合其他条件求角，考查学生对定理适用条件的辨析与灵活应用，易错点在于忽略三角形内角和限制导致多解。卷面上常以填空题出现。
余弦定理与向量数量积结合，通过坐标或几何意义将边长关系转化为向量运算。方位角条件可转化为向量夹角，利用余弦定理建立方程求解角度，要求学生具备数形结合与代数运算能力，属于应用层，常见错误是混淆向量夹角与三角形内角。
实际建模问题中，余弦定理用于将现实情境中的距离、角度关系转化为三角形边角计算。影子长度与杆子垂直条件构成空间三角形，需将立体问题投影到平面，再用余弦定理列式，考查建模与推理能力，区分度在于能否正确提取几何关系并处理近似计算。
余弦定理与不等式或恒成立问题结合，用于求三角形边或角的范围。例如已知两边及第三边满足的等式，利用余弦定理表达角度余弦值，再结合函数单调性或基本不等式求最值，要求学生掌握综合应用与代数变形，易错点在于忽略三角形存在条件。
在几何图形中，余弦定理常与圆弧、切线等条件组合，通过分段计算边长后求解角度或距离。海岸线由线段和圆弧构成，需多次运用余弦定理求长度，再结合三角函数求最短距离，考查综合应用与近似计算，学生易在角度转换或精度控制上出错。

典型例题

例题 1

在△ABC中，已知a=2√3，b=2，C=30°，求边c的长。

解答

由余弦定理：c² = a² + b² - 2ab cosC = (2√3)² + 2² - 2·2√3·2·cos30° = 12 + 4 - 8√3·(√$\frac{3}{2}$) = 16 - 8·($\frac{3}{2}$) = 16 - 12 = 4，所以 c=2。

要点：

识别已知两边及其夹角，直接套用余弦定理公式
注意cos30°=√$\frac{3}{2}$，准确进行代数运算

例题 2

在△ABC中，三边分别为a=3，b=4，c=√13，求最大角的余弦值。

解答

最大边为b=4，故最大角为角B。由余弦定理：cosB = (a² + c² - b²)/(2ac) = (9 + 13 - 16)/(2·3·√13) = 6/(6√13) = 1/√13。

要点：

先判断最大边对应的角为最大角
正确代入公式并化简

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