等比数列的概念与通项公式

函数与导数A 档L3近3年考频 5 次

常见题型：choice、fill、short

等比数列的概念与通项公式 - 数列

考法聚焦

直接代入通项公式求值，属于识记与应用层。、3、4均给出首项和公比，要求计算指定项，学生只需准确记忆公式并快速运算，区分度较低，但能检验基础是否扎实。此类题常以填空题呈现。
在无穷等比数列背景下，结合闭区间概念与参数范围求解，属于综合与建模层。要求根据对任意正整数集合是闭区间这一条件，推导首项取值范围，需要将数列通项与区间表示、不等式恒成立问题结合，考查逻辑推导与条件转化能力。
与向量或坐标结合，在平面直角坐标系中给出等比数列的几何意义，如点列共线或向量共线，要求利用通项公式建立坐标关系。此类题属于应用与推理层，学生需将数列通项与向量共线条件联立，通过坐标运算求解。
与三角函数联立，例如给出等比数列各项为正弦值或余弦值，要求判断数列性质或计算公比。属于辨析与综合层，学生需识别三角函数的周期性对等比数列的影响，避免误判公比或首项，易错点在于忽略三角函数的取值范围。
与导数或函数性质结合，如给出等比数列的前n项和函数，要求求导或讨论单调性。属于建模与推理层，学生需将数列通项视为函数，利用导数工具分析数列的增减性，或通过构造函数证明不等式，区分度较高，需要灵活运用数学思想。

例题 1

已知等比数列{an}中，a1 = 2，a3 = 8，求公比q和a5的值。

解答

解：由通项公式an = a1 * q^(n-1)，得a3 = 2 * q^2 = 8，所以q^2 = 4，解得q = 2或q = -2。当q=2时，a5 = 2 * 2^4 = 32；当q=-2时，a5 = 2 * (-2)^4 = 32。综上，q=±2，a5=32。

要点：

例题 2

在等比数列{an}中，a2 = 6，a5 = 48，求首项a1和公比q。

解答

解：由通项公式得a2 = a1 * q = 6，a5 = a1 * q^4 = 48。两式相除得q^3 = 8，解得q = 2。代入a1 * 2 = 6，得a1 = 3。所以a1=3，q=2。

要点：

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