常见题型：choice、fill、short
例题 1
已知数列\{a_n\}满足a_n = $\frac{1}{n(n+2)}$，求数列\{a_n\}的前n项和S_n。
解答
解：由裂项公式，$\frac{1}{n(n+2)}$ = $\frac{1}{2}$\left($\frac{1}{n}$ - $\frac{1}{n+2}$\right)。
则S_n = $\frac{1}{2}$\left[(1-$\frac{1}{3}$) + ($\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$) + ($\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$) + \cdots + ($\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$) + ($\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$)\right]。
观察发现，中间项$\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$, \cdots, $\frac{1}{n-1}$, $\frac{1}{n}$均被消去，仅剩首两项和末两项：
S_n = $\frac{1}{2}$\left(1 + $\frac{1}{2}$ - $\frac{1}{n+1}$ - $\frac{1}{n+2}$\right) = $\frac{1}{2}$\left($\frac{3}{2}$ - $\frac{1}{n+1}$ - $\frac{1}{n+2}$\right)。
化简得S_n = $\frac{3}{4}$ - $\frac{1}{2(n+1)}$ - $\frac{1}{2(n+2)}$。
要点：
例题 2
已知数列\{a_n\}的通项公式为a_n = (2n-1) \cdot 2^{n-1}，求该数列的前n项和S_n。
解答
解：设S_n = 1\cdot2^0 + 3\cdot2^1 + 5\cdot2^2 + \cdots + (2n-1)\cdot2^{n-1}。
将等式两边乘以公比2得：2S_n = 1\cdot2^1 + 3\cdot2^2 + 5\cdot2^3 + \cdots + (2n-3)\cdot2^{n-1} + (2n-1)\cdot2^{n}。
两式相减得：S_n - 2S_n = 1\cdot2^0 + 2\cdot(2^1+2^2+\cdots+2^{n-1}) - (2n-1)\cdot2^{n}。
即-S_n = 1 + 2\cdot\frac{2(2^{n-1}-1)}{2-1} - (2n-1)\cdot2^{n} = 1 + 2\cdot(2^{n}-2) - (2n-1)\cdot2^{n} = 1 + 2^{n+1} - 4 - (2n-1)\cdot2^{n} = 2^{n+1} - (2n-1)\cdot2^{n} - 3。
所以S_n = (2n-1)\cdot2^{n} - 2^{n+1} + 3 = (2n-3)\cdot2^{n} + 3。
要点：