复数的四则运算

三角函数A 档L3近3年考频 5 次

常见题型：choice、fill、short

复数的四则运算 - 复数

考法聚焦

复数i的幂运算常以选择题形式考查，中直接计算i^4的值，本质上是对虚数单位周期性的识记。学生需掌握i^1=i, i^2=-1, i^3=-i, i^4=1的循环规律，避免将i^4误算为-1。这类题区分度低，但容易因粗心失分。卷面以填空题为主。
在复数四则运算中，常与向量或坐标结合，要求将复数视为平面上的点，通过代数运算求模长或夹角。例如给定复数z满足z+1/z=0，求|z-1|，学生需先化简为z^2=-1，再代入模长公式。这属于应用层，需灵活转化代数与几何形式。
复数运算与三角函数联立时，常以极坐标形式呈现，如z=cosθ+isinθ，要求计算z^n或证明恒等式。学生需掌握棣莫弗定理，并能将复数乘法与三角恒等变换结合。此类题侧重推理，易错点在于辐角主值的范围判断。
复数与数列组合的题目，例如已知复数数列{z_n}满足z_{n+1}=z_n^2+1，求通项或前几项和。这要求学生在复数运算基础上识别递推模式，可能涉及等比数列求和。属于建模层，需将复数运算规则与数列方法融合。
复数与导数或函数性质结合时，可能要求判断复数方程的解的个数或求极值。例如给定函数f(z)=z^2+2z+2，求|f(z)|的最小值。学生需将复数视为变量，利用二次函数最值或复数模的几何意义求解。属于综合层，易错点在于忽略复数模的非负性。

例题 1

已知复数z满足(1+i)z = 2+3i，求复数z的实部与虚部之和。

解答

设z=a+bi，则(1+i)(a+bi)=a+ai+bi+bi²=(a-b)+(a+b)i=2+3i。由复数相等得方程组：a-b=2，a+b=3。解得a=2.5，b=0.5。实部与虚部之和为a+b=3。

要点：

例题 2

计算复数z = $\frac{2-i}{1+2i}$，并将结果表示为a+bi的形式。

解答

分子分母同乘分母的共轭复数1-2i：z = $\frac{(2-i)(1-2i)}{(1+2i)(1-2i)}$ = $\frac{2-4i-i+2i²}{1+4}$ = $\frac{2-5i-2}{5}$ = $\frac{-5i}{5}$ = -i。所以z=0+(-1)i。

要点：

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