函数概念与性质

常见题型：求定义域与值域、判断与证明单调性/奇偶性、抽象函数求值、函数图像与性质综合、含参函数的性质讨论

定义

函数f:A→B是从集合A到集合B的映射，满足每个x∈A都有唯一确定的y∈B与之对应。单调性：对于区间I上任意x₁<x₂，若f(x₁)<f(x₂)则f(x)在I上单调递增；若f(x₁)>f(x₂)则f(x)在I上单调递减。奇偶性：f(-x)=f(x)为偶函数（图像关于y轴对称）；f(-x)=-f(x)为奇函数（图像关于原点对称）。

详解

函数概念与性质是上海高考数学的灵魂章节，分值占比最高。近三年上海高考对函数性质的考查呈现出"基础与创新并重"的特点。

一、定义域的四大考查角度：

1. 分母不为零：如f(x)=1/g(x)，要求g(x)≠0。
2. 偶次根号下非负：如f(x)=√(x-1)，要求x-1≥0。
3. 对数真数大于零：如f(x)=logₐ(x-2)，要求x-2>0。
4. 复合型定义域：多个条件取交集。上海高考常考"求函数的定义域并用区间表示"。

二、奇偶性与单调性的上海特色考法：

1. 利用奇偶性求参数：已知函数奇偶性反求参数值，如f(x)=x³/(a+2ˣ)为奇函数求a。
2. 单调性解抽象不等式：已知f(x)在R上递增，解f(x²)>f(2x+3)，直接去f比较自变量。
3. 对称性与周期性结合：f(x+2)=-f(x)推出周期为4，结合奇偶性求特定函数值。

三、近年真题特征：

• 2023年上海高考第19题（解答题）：考查函数单调性与不等式证明的结合，需要综合运用函数性质。
• 2024年一模：抽象函数f(x+y)=f(x)+f(y)+xy型，考查赋值法求值及单调性证明。

四、解题策略：

1. 奇偶性优先看定义域是否关于原点对称。
2. 抽象函数问题首选赋值法（令x=0,y=0等）。
3. 对称性与周期性的关系：一个函数若有两条对称轴或两个对称中心，则必有周期性。

要点

• 奇偶先看定义域，对称才有奇偶分
• 单调作差法证明，两自变量要任意
• 同增异减复合函，定义域里再说话
• 周期对称有联系，两条对称必有周

推导过程

奇函数性质推导f(0)=0：由奇函数定义f(-x)=-f(x)，令x=0得f(0)=-f(0)⇒2f(0)=0⇒f(0)=0。前提是0必须在定义域内。

周期性推导：若f(x+a)=-f(x)，则f(x+2a)=f((x+a)+a)=-f(x+a)=-(-f(x))=f(x)，周期T=2a。若f(x+a)=1/f(x)，同理得周期T=2a。

考情权重

直接考查约12分(8%)，作为基础工具渗透于全卷

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